Question

14．若$f（x）=cos2x+acos（{\frac{π}{2}+x}）$在區間$（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$上是增函數，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． [-2，+∞）
• B． （-2，+∞）
• C． （-∞，-4）
• D． （-∞，-4]

Answer 1

分析 首先把函數變形成標準型的二次函數，進一步利用復合函數的單調性求出結果．

解答 解：∵$f（x）=cos2x+acos（{\frac{π}{2}+x}）$=1-2sin²x-asinx=-2（sin²x+$\frac{a}{2}$sinx+$\frac{{a}^{2}}{16}$-$\frac{{a}^{2}}{16}$）+1
=-2${（sinx+\frac{a}{4}）}^{2}$+1+$\frac{{a}^{2}}{8}$，
令t=sinx，則f（x）=g（t）=-2${（t+\frac{a}{4}）}^{2}$+1+$\frac{{a}^{2}}{8}$．
由于t=sinx在區間$（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$上是增函數，故t∈（$\frac{1}{2}$，1），
結合f（x）在區間$（{\frac{π}{6}，\frac{π}{2}}）$上是增函數，可得g（t）=-2${（t+\frac{a}{4}）}^{2}$+1+$\frac{{a}^{2}}{8}$在（$\frac{1}{2}$，1）上單調遞增．
由于二次函數g（t）的圖象的對稱軸為x=-$\frac{a}{4}$，∴-$\frac{a}{4}$≥1，∴a≤-4，
故選：D．

點評 本題考查的知識要點：復合函數的單調性，三角函數的單調性，參數的取值范圍，屬于中檔題．