Question

【題目】有一塊以點為圓心，半徑為百米的圓形草坪，草坪內距離點百米的點有一用于灌溉的水籠頭，現準備過點修一條筆直小路交草坪圓周于兩點，為了方便居民散步，同時修建小路，其中小路的寬度忽略不計.

（1）若要使修建的小路的費用最省，試求小路的最短長度；

（2）若要在區域內(含邊界)規劃出一塊圓形的場地用于老年人跳廣場舞，試求這塊圓形廣場的最大面積.(結果保留根號和)

Answer 1

【答案】（1）(百米).（2）.

【解析】

（1）要使最短，只需要最小即可，根據弦長公式可知當時，弦最小；

（2）當廣場所在的圓與內切時，面積最大，由弦長公式可得，再由三角形面積公式表示半徑，再通過構造函數，利用導數求函數的最值.

建立如圖所示的平面直角坐標系，則.

（1）小路的長度為，因為長為定值，故只需要最小即可.

作于，記，則，

又，故，

此時點為中點.

故小路的最短長度為(百米).

（2）顯然，當廣場所在的圓與內切時，

面積最大，設的內切圓的半徑為，

則的面積為，

由弦長公式可得，所以，

設，則，

所以，

又因為，即，所以，

所以，所以，

即的內切圓的面積最大值為.