Question

若函數f（x）=3-log_ax，x∈[a，2a]的最小值不小于1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：分①當a＞1和②當0＜a＜1兩種情況，分別利用函數的單調性求得函數的最小值，再由函數的最小值大于或等于1，求得得a的范圍．再把以上實數a的取值范圍取并集，即得所求．

解答：解：①當a＞1時，函數f（x）=3-log_ax在（0，+∞）上是減函數，
由題意可得函數的最小值f（2a） 3-log_a（2a）≥1，即 log_a（2a）≤2，0＜2a≤a²，
解得 a≥2．
②當0＜a＜1時，函數f（x）=3-log_ax在（0，+∞）上是增函數，
由題意可得 函數的最小值f（a）=3-log_aa≥1，即 log_aa≤2，顯然成立．
綜上可得，實數a的取值范圍為{a|a≥2，或0＜a＜1}．

點評：本題主要考查對數函數的單調性和特殊點，對數函數的定義域，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．