Question

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，在軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)，滿足，且.

（1）求橢圓的離心率；

（2）若過三點(diǎn)的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；

（3）在（2）的條件下，過右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得,如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

1）由△是直角三角形，可得

（3）由（2）知, 設(shè)：

由           得  

設(shè)，    則，     -----------------8分

的中點(diǎn)

      則      ----------------10分

【解析】(1)易求.（2）易知△外接圓圓心為,根據(jù)圓心到直線l的距離等于半徑a,建立關(guān)于a的方程，求出a的值，再根據(jù)（1），即可求出橢圓C的方程.

(3)此問是探索性問題，可先假設(shè)存在，然后把題目中的條件轉(zhuǎn)化為MN的中點(diǎn)Q與P的連線垂直MN，然后由直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理求出中點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再根據(jù),建立m與k的函數(shù)關(guān)系式，注意k不等于零,進(jìn)而根據(jù)函數(shù)有關(guān)知識(shí)求解此題.