Question

已知向量

m

=(cosx，-sinx)，

n

=(cosx，sinx-2

3

cosx)，x∈R，令f（x）=

m

•

n

．
（1）當x∈(0，

π

2

)時，求f（x）的值域；
（2）已知f(

α

2

)=

2

3

，求cos(2α-

2

3

π)的值．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

m

•

n

=cos²x-sinx(sinx-2

3

cosx)，利用二倍角公式、輔助角公式對三角函數進行化簡，然后結合x∈(0，

π

2

)，及正弦函數的性質可求函數的值域
（2）由已知可得sin（α+

π

6

）=

1

3

，然后由cos（2α-

2π

3

）=cos[2（α+

π

6

）-π]，利用誘導公式及二倍角公式可求

解答：解（1）∵f（x）=

m

•

n

=cos²x-sinx(sinx-2

3

cosx)
=cos2x-sin2x+2

3

sinxcosx
=cos2x+

3

sin2x
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)，
∵x∈(0，

π

2

)，
∴

π

6

＜2x+

π

6

≤

7π

6

∴sin(2x+

π

6

)∈(-

1

2

，1]
∴y=f（x）的值域為（-1，2]；   …（7分）
（2）由f(

α

2

)=

2

3

⇒2sin(α+

π

6

)=

2

3

⇒sin(α+

π

6

)=

1

3

∴cos(2α-

2

3

π)=cos[2(α+

π

6

)-π]=-cos2(α+

π

6

)=-1+2sin2(α+

π

6

)=-

7

9

（14分）．

點評：本題主要考查了向量的數量積的坐標表示，正弦函數的性質的應用，二倍角公式、輔助角公式的綜合應用．