Question

【題目】設(shè)集合.若的非空子集中奇數(shù)的個數(shù)大于偶數(shù)的個數(shù)，則稱是“好的”.試求的所有“好的”子集的個數(shù)（答案寫成最簡結(jié)果）.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

對分奇、偶兩種情況討論.

（1）當(dāng)（為非負(fù)整數(shù)），這時中奇元素恰比偶元素多一個.設(shè)是的任何一個子集，則和中有且只有一個子集是“好的”，從而的“好子集”的個數(shù)為.

（2）當(dāng)（為正整數(shù)），中奇元素個數(shù)與偶元素個數(shù)相等.定義為“壞子集”為當(dāng)且僅當(dāng)中奇元素個數(shù)小于偶元素的個數(shù)，而定義為“中性子集”（包括空集）為當(dāng)且僅當(dāng)中奇元素個數(shù)與偶元素個數(shù)相等.

由對稱性知，的“好子集”個數(shù)與“壞子集”的個數(shù)必定相等，所以有

“好子集”個數(shù)

.

其中公式可證明如下：考慮恒等式兩邊中項的系數(shù)，由二項式定理知，左邊式中項的系數(shù)是，而右邊式中的系數(shù)是，故得恒等式.

本題答案可統(tǒng)一地寫為

其中是不大于的最大整數(shù)）.

注：由恒等式可得組合恒等式：

（注意當(dāng)時，）.這種利用模型來建立和證明組合恒等式的方法（叫做“模型法”）在組合數(shù)學(xué)中是很常用的，也很重要，應(yīng)該熟悉進而掌握它.如果是個奇數(shù)和個偶數(shù)組成，那么的“好子集”個數(shù)又為多少呢？請讀者自己考慮之.