Question

【題目】已知函數(shù).

（1）設是的反函數(shù).當時，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素，求實數(shù)的值；

（3）設，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）.

【解析】

（1）先由，得到，求出其反函數(shù)，解對應不等式，即可得出結(jié)果；

（2）先由得到，分別討論和兩種情況，即可得出結(jié)果；

（3）根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性，得到在區(qū)間上單調(diào)遞減，求出其最值，根據(jù)題意，得到，推出對任意的恒成立，令，求出的最大值，即可得出結(jié)果.

（1）當時，，由得，所以，

因為是的反函數(shù)，

所以，，

由得，所以：，解得：，

即不等式的解集為；

（2）方程即，

所以，

①，則，經(jīng)過驗證，滿足關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素；

②時，（i）若，解得，代入，解得，經(jīng)過驗證，滿足關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素；

（ii）若，則；

當時，由解得：或，即方程的解要在范圍內(nèi)，

解方程得，因為，

所以為使關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素，

只需，即，顯然不成立；

當時，由解得：，即方程的解要在范圍內(nèi)，

解方程得，因為，所以，，且，

因此只需，即，

即，解得：，與矛盾，也不滿足題意；

綜上，實數(shù)的值為或；

（3）由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得單調(diào)遞增，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可得在上單調(diào)遞減，因為，，

所以，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性，可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，

因此，，

又函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過，

所以，

即，整理得，即對任意的恒成立，

令，，

任取，則

，

因為，所以，，，

因此，即；

所以在上單調(diào)遞減，

所以，

因此，只需.

故的取值范圍為.