Question

設（2x-1）⁵=a+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，求：
（1）a+a₁+a₂+a₃+a₄；
（2）|a|+|a₁|+|a₂|+|a₃|+|a₄|+|a₅|；
（3）a₁+a₃+a₅；
（4）（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²．

Answer 1

【答案】分析：根據所給的二項式的展開式，給x賦值，取x=1和x=-1，后面幾個問題都是通過這一個賦值得到結果的．
（1）根據二項式的展開式得到第六項的二項式系數，根據所賦的x=-1的值減去第六項的二項式系數，得到結果．
（2）要求的這幾項的絕對值的和，首先去掉絕對值，變化為這六項的二項式系數的和與差形式，看出與x=-1的結果剛好相反，得到結果．
（3）用x=1的值減去x=-1的值，得到啊喲球結果的二倍，等式兩邊除以2，得到結果．
（4）利用平方差公式，得到兩個因式的積的形式，而這兩個因式，是我們前面賦值得到的兩個式子的積，得到結果．
解答：解：設f（x）=（2x-1）⁵=a+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
則f（1）=a+a₁+a₂+…+a₅=1，
f（-1）=a-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅=（-3）⁵=-243．
（1）∵a₅=2⁵=32，
∴a+a₁+a₂+a₃+a₄=f（1）-32=-31．
（2）|a|+|a₁|+|a₂|+…+|a₅|
=-a+a₁-a₂+a₃-a₄+a₅
=-f（-1）=243．
（3）∵f（1）-f（-1）=2（a₁+a₃+a₅），
∴a₁+a₃+a₅==122．
（4）（a+a₂+a₄）²-（a₁+a₃+a₅）²
=（a+a₁+a₂+a₃+a₄+a₅）（a-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅）
=f（1）×f（-1）=-243．
點評：本題考查二項式定理的性質，本題包含這個知識點所有的可能出現的問題，這種問題的解法一般就是賦值，賦值以后靈活變化要求的式子，本題的靈活性比較好．