Question

【題目】已知雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓： 的頂點(diǎn)， 為橢圓的左焦點(diǎn)且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作斜率為（）的直線交橢圓于另一點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)，當(dāng)的面積取得最大值時(shí)，求的面積.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，求出雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可得橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo)，可得a的值，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解可得a、b的值，將a、b的值代入橢圓的方程即可得答案；

（2）根據(jù)題意，設(shè)直線AB的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立，可得，分析可以用k表示△AOB的面積，由基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

試題解析：

（1）由已知，得，

所以的方程為.

（2）由已知結(jié)合（1）得， ，

所以設(shè)直線： ，聯(lián)立： 得，

得，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)， 的面積取得最大值，

所以，此時(shí)，

所以直線： ，聯(lián)立，解得，

所以.