Question

已知矩陣A=

a 0

1 b

把點(diǎn)（1，1）變換成點(diǎn)（2，2）
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求曲線C：x²+y²=1在矩陣A的變換作用下對(duì)應(yīng)的曲線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：幾種特殊的矩陣變換

專(zhuān)題：選作題,矩陣和變換

分析：（Ⅰ）根據(jù)矩陣A=

a 0

1 b

把點(diǎn)（1，1）變換成點(diǎn)（2，2），求a，b的值；
（Ⅱ）在單位圓上設(shè)點(diǎn)P（x，y），P被A變換后變成曲線C上的點(diǎn)Q（x'，y'），利用矩陣變換的公式列方程組，并將x、y表示成x'、y'的式子，將此關(guān)系式作為點(diǎn)P坐標(biāo)，代入單位圓方程，化簡(jiǎn)整理即得變換后的曲線C方程．

解答：解：（I）由

a 0

1 b

1 1

=

2 2

，得

a+1=2 b=2

，
∴a=1，b=2
（Ⅱ）點(diǎn)P（x，y）是圓x²+y²=1上的任意一點(diǎn)，變換后的點(diǎn)為Q（x'，y'），則

1 1 0 2

x y

=

x′ y′

，可得

x=x′- y′ 2 y= y′ 2

代入單位圓方程，得
（x'-

1

2

y'）²+（

1

2

y'）²=1，化簡(jiǎn)整理得：（x'）²+

1

2

（y'）²-x'y'-1=0
∴A將圓x²+y²=1變換后的曲線C方程為：x²+

1

2

y²-xy-1=0．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了矩陣的乘法法則和矩陣變換的含義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．