Question

設集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b組成數對（a，b），并構成函數f（x）=ax²-4bx+1
（Ⅰ）寫出所有可能的數對（a，b），并計算a≥2，且b≤3的概率；
（Ⅱ）求函數f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（1）列舉出所有的可能的數對，由分步計數原理知共有15個，看清要求滿足的條件，寫出所有的數對，要做到不重不漏．
（2）設事件“f（x）=ax²-4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數”為B，因函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

且a＞0，所以要使事件B發生，只需

2b

a

≤1即2b≤a，寫出所有的滿足條件的數對．

解答：解：（Ⅰ）所有基本事件如下：
（1，-1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），
（2，-1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），
（3，-1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），共有15個．
設事件“a≥2，且b≤3”為A，
則事件A包含的基本事件有8個，
所以P（A）=

8

15

．
（Ⅱ）設事件“f（x）=ax²-4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數”為B，
因函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

且a＞0，
所以要使事件B發生，只需

2b

a

≤1即2b≤a．
由滿足題意的數對有（1，-1）、（2，-1）、（2，1）、（3，-1）、（3，1），共5個，
∴P（B）=

5

15

=

1

3

．

點評：本題主要考查列舉，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，本題可以列舉出所有事件，概率問題同其他的知識點結合在一起，實際上是以概率問題為載體，主要考查的是另一個知識點．