Question

（本小題滿分12分）

如圖，四棱錐P—ABCD中，ABCD為矩形，△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分別為PC和BD的中點，

（1）證明：EF∥面PAD；

（2）證明：面PDC⊥面PAD；

（3）求銳二面角B—PD—C的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）如圖，連接AC，

∵ABCD為矩形且F是BD的中點，

∴AC必經過F                        1分

又E是PC的中點，

所以，EF∥AP                          2分

∵EF在面PAD外，PA在面內，∴EF∥面PAD                                        4分

（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，面PAD面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，

又AP面PAD，∴AP⊥CD                                                                     6分

又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直線，AP⊥面PCD                                  7分

又AD面PAD，所以，面PDC⊥面PAD                                                8分

（3）由P作PO⊥AD于O，以OA為x軸，以OF為y軸，以OP為z軸，則

A（1，0，0），P（0，0，1）                                                                   9分

由（2）知是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），

，                                                               10分

設面BPD的法向量，

由得

取，則，

向量和的夾角的余弦           11分

所以，銳二面角B—PD—C的余弦值                                                 12分

 

【解析】略