Question

如圖，在半徑為R、圓心角為的扇形金屬材料中剪出一個長方形EPQF，并且EP與∠AOB的平分線OC平行，設∠POC=θ．
（1）試寫出用θ表示長方形EPQF的面積S（θ）的函數；
（2）在余下的邊角料中在剪出兩個圓（如圖所示），試問當矩形EPQF的面積最大時，能否由這個矩形和兩個圓組成一個有上下底面的圓柱？如果可能，求出此時圓柱的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△OPC中，OP=R，∠POC=θ，可求PC，OC，從而可得EF，EP，即可求長方形EPQF的面積，；
（2）制成圓柱的底面周長為EF，半徑可求，△OEF的內切圓半徑可求，兩半徑比較得出結論．
解答：解：（1）由條件得，
從而．…（4分）
（2）由（1）得，
所以當時，即取得最大值，為．…（7分）
此時，，
所以EPQF為正方形，依題意知制成的圓柱底面應是由EF圍成的圓，
從而由周長，得其半徑為．…（11分）
另一方面，如圖所示，設圓與OA邊切于點H，連接GE、GH、GA，．
設兩小圓的半徑為GH=r，則，
且AH＞r，從而，所以，
因0.084R＜0.10R，
所以能作出滿足條件的兩個圓．此時圓柱的體積．…（16分）
點評：本題用柱體的側面積和體積作為載體，重點考查了三角函數的運算與性質，求側面積 S（θ）的最大值和柱體的體積時，考查了兩角和與差的運算，且運算量較大，屬于中檔題．