Question

如圖所示，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的九條棱長均為2a,D、E分別為BC、CC₁的中點，B₁D交BE于F，過F作AB₁的垂線交AB₁于G.

（1）證明AD⊥BE；

（2）求異面直線BE和AB₁的距離.

Answer 1

（1）證明：由正三棱柱性質(zhì)得△ABC為正三角形，且面ABC⊥面BB₁C₁C，交線為BC.?

∵D是BC中點，∴AD⊥面BB₁C₁C.?

∴AD⊥BE.?

（2）解析：∵AD⊥面BB₁C₁C，∴AB₁在側(cè)面BB₁C₁C上的射影是DB₁.?

∵BB₁C₁C是正方形,E、D是CC₁、BC中點，∴BE⊥B₁D.∴AB₁⊥BE.?

又∵AD⊥BE，AD∩AB₁=A，?

∴BE⊥面AB₁D.∴BE⊥GF于F.?

又∵FG⊥AB₁于G，∴FG是BE與AB₁的公垂線段.?

在正方形BB₁C₁C中，BF⊥DB₁于F，由射影定理知DF·DB₁=BD².?

∴DF=.?

又在Rt△ADB₁中，△FGB₁∽△ADB₁,∴.??

∴FG=.?

∴BE與AB₁的距離為.