Question

已知函數f(x)=ax-

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，又當x∈[

1

4

，

1

2

]時，f(x)≥

1

8

.
（1）求a的值；
（2）設0＜a1＜

1

2

，an+1=f(an)，n∈N+．證明an＜

1

n+1

.

Answer 1

分析：（1）由函數f(x)=ax-

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，求得a²的范圍，再由第二個條件即可得到a的值
（2）由第一問a的值確定f（x）的解析式，然后利用數學歸納法證明該不等式．

解答：解：（1）由于f(x)=ax-

3

2

x2的最大值不大于

1

6

，所以f(

a

3

)=

a2

6

≤

1

6

，即a²≤1.①
又x∈[

1

4

，

1

2

]時f(x)≥

1

8

，所以

f( 1 2 )≥ 1 8 f( 1 4 )≥ 1 8

即

a 2 - 3 8 ≥ 1 8 a 4 - 3 32 ≥ 1 8 .

解得a≥1．②
由①②得a=1．
（2）由（1）知f（x）=x-

3

2

x2
①當n=1時，0＜a1＜

1

2

，不等式0＜an＜

1

n+1

成立；
因f(x)＞0，x∈(0，

2

3

)，所以0＜a2=f(a1)≤

1

6

＜

1

3

，故n=2時不等式也成立．
②假設n=k（k≥2）時，不等式0＜ak＜

1

k+1

成立，因為f(x)=x-

3

2

x2的對稱軸為x=

1

3

，
知f（x）在[0，

1

3

]為增函數，所以由0＜a1＜

1

k+1

≤

1

3

得0＜f(ak)＜f(

1

k+1

)
于是有0＜ak+1＜

1

k+1

-

3

2

•

1

(k+1)2

+

1

k+2

-

1

k+2

=

1

k+2

-

k+4

2(k+1)2(k+2)

＜

1

k+2

，
所以當n=k+1時，不等式也成立．
根據①②可知，對任何n∈N^*，不等式an＜

1

n+1

成立．

點評：本題是道難題，考查了二次函數的性質以及函數與數列的綜合問題，在證明第二問的不等式式注意數學歸納法的應用．