Question

若函數(shù)f(x)=

1

x

+

1

1-x

的定義域?yàn)椋?，1），則f（x）的值域?yàn)椋ā　。?/div>

• A．[1，+∞）
• B．[2，+∞）
• C．[

  3

  2

  ，+∞)
• D．[4，+∞）

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分析：化簡(jiǎn)得f(x)=

1

x(1-x)

，根據(jù)x∈（0，1）利用基本不等式求出分母x（1-x）的最大值為

1

4

，得0＜

1

f(x)

≤

1

4

，解之即可得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：f(x)=

1

x

+

1

1-x

=

1-x+x

x(1-x)

=

1

x(1-x)

∵x∈（0，1），得x＞0且1-x＞0，
∴x（1-x）≤[

x+(1-x)

2

]2=

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x時(shí)，即x=

1

2

時(shí)等號(hào)成立．
可得0＜x（1-x）≤

1

4

，
又∵f(x)=

1

x(1-x)

，得x（1-x）=

1

f(x)

，
∴0＜

1

f(x)

≤

1

4

，解之得f（x）≥4，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇4，+∞）
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出分式函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的值域．著重考查了基本不等式求最值、分式函數(shù)值域的求法等知識(shí)，屬于中檔題．

Answer 1

分析：化簡(jiǎn)得f(x)=

1

x(1-x)

，根據(jù)x∈（0，1）利用基本不等式求出分母x（1-x）的最大值為

1

4

，得0＜

1

f(x)

≤

1

4

，解之即可得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：f(x)=

1

x

+

1

1-x

=

1-x+x

x(1-x)

=

1

x(1-x)

∵x∈（0，1），得x＞0且1-x＞0，
∴x（1-x）≤[

x+(1-x)

2

]2=

1

4

，當(dāng)且僅當(dāng)x=1-x時(shí)，即x=

1

2

時(shí)等號(hào)成立．
可得0＜x（1-x）≤

1

4

，
又∵f(x)=

1

x(1-x)

，得x（1-x）=

1

f(x)

，
∴0＜

1

f(x)

≤

1

4

，解之得f（x）≥4，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇4，+∞）
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出分式函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間（0，1）上的值域．著重考查了基本不等式求最值、分式函數(shù)值域的求法等知識(shí)，屬于中檔題．