Question

已知橢圓的右焦點F（1，0），離心率為e．
（1）若，求橢圓方程；
（2）設直線y=kx（k＞0）與橢圓相交于A，B兩點，M，N分別為線段AF，BF的中點，若坐標原點O在以MN為直徑的圓上．
（i）將k表示成e的函數；
（ii）當時，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用橢圓的右焦點F（1，0），，建立方程，可得橢圓的幾何量，從而可得橢圓方程；
（2））（i）直線y=kx（k＞0）與橢圓方程聯立，求出A，B的坐標，利用坐標原點O在以MN為直徑的圓上，可得，化簡可得結論；
（ii）當時，結合（i）的結論，即可求k的取值范圍．
解答：解：（1）∵橢圓的右焦點F（1，0），，
∴
∴c=1，a=
∴=1
∴橢圓方程為；
（2）（i）直線y=kx（k＞0）與橢圓方程聯立，可得
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁=-，x₂=
∴y₁=-k•，y₂=k•
∵坐標原點O在以MN為直徑的圓上
∴
∴
∴
∴；
（ii）∵，∴
設=t，則t∈
∴，∴
∵t∈，∴
∴或．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．