Question

【題目】已知函數(shù)，其函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.

（1）求函數(shù)的解析式及對(duì)稱中心；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再向上平移個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】分析：（1）將函數(shù)化為后再求對(duì)稱中心．（2）由題意得，且，令后可將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根求解，然后根據(jù)方程根的分布可得所求結(jié)果．

詳解：（1）由題意得

．

∵函數(shù)圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為，

∴，

∴

sin()

由，

得，

．

(2)由題意知，

∵，

∴．

設(shè)．

∵關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

∴關(guān)于的方程在區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根．

令H(t)=， ，

則函數(shù)H(t)的圖象為開口向上的拋物線，且過定點(diǎn)（0,2）．

故由條件可得H()=9+，

解得，

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．