Question

（2009•東營一模）已知向量：

a

=（2sinωx，cos²ωx），向量

b

=（cosωx，2

3

），其中ω＞0，函數f（x）=

a

•

b

，若f（x）圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對任意實數x∈[

π

6

，

π

3

]，恒有|f（x）-m|＜2成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的數量積以及二倍角公式兩角和的正弦函數化簡函數表達式，求出函數的周期，即可求f（x）的解析式；
（2）通過x∈[

π

6

，

π

3

]，求出相位的范圍，確定函數的值域，然后利用|f（x）-m|＜2，得到m的關系式，求實數m的取值范圍

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

=(2sinωx，cos2ωx)•(cosωx，2

3

)=sin2ωx+

3

(1+cos2ωx)
=2sin(2ωx+

π

3

)+

3

∵相鄰兩對稱軸的距離為π，∴

2π

2ω

=2π，∴ω=

1

2

∴f(x)=2sin(x+

π

3

)+

3

（2）∵x∈[

π

6

，

π

3

]，∴x+

π

3

∈[

π

2

，

2π

3

]
∴2

3

≤f(x)≤2+

3

，
又∵|f（x）-m|＜2，∴-2+m＜f（x）＜2+m
若對任意x∈[

π

6

，

π

3

]，恒有|f(x)-m|＜2成立，則有

-2+m≤2 3 2+m≥2+ 3

解得

3

≤m≤4+2

3

．

點評：本題考查向量的數量積，兩角和與差的三角函數二倍角公式的應用，函數恒成立問題的應用，考查轉化思想與計算能力．