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（矩陣與變換）求矩陣M=

1	2
2	1

的特征值及其對應的特征向量．

分析：先求出矩陣M的特征多項式，進而可求矩陣M的特征值．利用方程組可求相應的特征向量．

解答：解：矩陣M的特征多項式為f(λ)=

λ-1	-2
-2	λ-1

=（λ-1）（λ-1）-4=λ²-2λ-3．
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為-1和3．
當λ=-1時，聯立

-2x-2y=0

，解得x+y=0
所以矩陣M的屬于特征值-1的一個特征向量為

-1

．
當λ=3時，聯立

2x-2y=0

-2x+2y=0

，解得x=y
所以矩陣M的屬于特征值3的一個特征向量為

．

點評：本題考查矩陣的性質和應用、特征值與特征向量的計算，解題時要注意特征值與特征向量的計算公式的運用．

練習冊系列答案

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

A（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，AB是⊙O的直徑，C，F是⊙O上的兩點，OC⊥AB，過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D，連接CF交AB于點E．
求證：DE²=DB•DA．
B（選修4-2：矩陣與變換）
求矩陣

2	1
1	2

的特征值及對應的特征向量．
C（選修4-4：坐標系與參數方程）
已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ，直線l的參數方程是

x=-

t+2

（t為參數）．
（Ⅰ）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）設直線l與x軸的交點是M，N是曲線C上一動點，求MN的最大值．
D（選修4-5：不等式選講）
已知m＞0，a，b∈R，求證：(

a+mb

1+m

)2≤

a2+mb2

1+m

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（“選修4-2矩陣與變換”）
已知y=f（x）的圖象（如圖1）經A=

a	b
c	d

作用后變換為曲線C（如圖2）．
（Ⅰ）求矩陣A；
（Ⅱ）求矩陣A的特征值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=

3	3
c	d

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為

α1

，屬于特征值1的一個特征向量為

α2

-2

．求矩陣A，并寫出A的逆矩陣．

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科目：高中數學 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區域內．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對應的一個特征向量α1=

，特征值λ₂=-1及其對應的一個特征向量α2=

-1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標系與參數方程）
以平面直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系（兩種坐標系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標為（-2，6），點B的極坐標為(4，

)，直線l過點A且傾斜角為

，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設a，b，c，d都是正數，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（選修4-2：矩陣與變換）
已知矩陣A=

3	3
c	d

，若矩陣A屬于特征值6的一個特征向量為α₁=

，屬于特征值1的一個特征向量為α₂=

-2

．
①求矩陣A；②求直線y=x+2在矩陣A的作用下得到的曲線方程．

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