Question

在△ABC中，向量

m

=（2cosB，1），向量

n

=（1-sinB，-1+sin2B），且滿足|

m

+

n

|=|

m

-

n

|．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由兩向量的坐標，根據已知等式列出關系式，整理求出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（Ⅱ）由B的度數求出A+C的度數，表示出C，代入所求式子，利用和差化積公式化簡，根據A的范圍求出這個角的范圍，利用余弦函數的值域即可確定出范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2cosB，1），向量

n

=（1-sinB，-1+sin2B），且滿足|

m

+

n

|=|

m

-

n

|，
∴（2cosB+1-sinB）²+（sin2B）²=（2cosB-1+sinB）²+（2-sin2B）²，
整理得：cosB=

1

2

，
∵B為三角形內角，∴B=

π

3

；
（Ⅱ）∵B=

π

3

，∴A+C=

2π

3

，即C=

2π

3

-A，
∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=2sin

π

3

cos（A-

π

3

）=

3

cos（A-

π

3

），
∵0＜A＜

2π

3

，∴-

π

3

＜A-

π

3

＜

π

3

，
∴

1

2

＜cos（A-

π

3

）＜1，
則sinA+sinC取值范圍是（

3

2

，

3

）．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，以及平面向量的數量積運算，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．