Question

在數列中，已知，，(，)．

（1）當，時，分別求的值，判斷是否為定值，并給出證明；

（2）求出所有的正整數，使得為完全平方數．

 

Answer 1

（1）()．（2）當時，滿足條件.

【解析】

試題分析：（1）第一步是歸納，分別進行計算. 由已知得，．所以時，；當時，．第二步猜想，()．第三步證明，本題可用數學歸納法證，也可證等式恒成立，（2）探求整數解問題，一般要構造一個可說明的整式. 設，則，又，且501=1501=3167，故 或所以 或

由解得；由得無整數解．所以當時，滿足條件．

試題解析：（1）由已知得，．

所以時，；當時，． 2分

猜想：()． 3分

下面用數學歸納法證明：

①當時，結論成立．

②假設當時，結論成立，即，

將代入上式，可得．

則當時，

．

故當結論成立，

根據①,②可得，()成立． 5分

（2）將代入，得，

則，，

設，則，

即， 7分

又，且501=1501=3167，

故 或

所以 或

由解得；由得無整數解．

所以當時，滿足條件． 10分

考點：數學歸納法