Question

【題目】如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；(Ⅲ) .

【解析】

（Ⅰ）由線面平行的性質可得，由勾股定理可得，從而可得平面，進而可得結果；（Ⅱ）取的中點為，連接，可證明為平行四邊形，，是與所成的角，利用余弦定理可得結果；(Ⅲ) 作于，由面面垂直的性質可得平面，連接，則就是直線與平面所成角，求出與的值，進而可得結果.

（Ⅰ）平面平面，
，

，
，
又平面，

平面，

平面平面；

（Ⅱ）

取的中點為，連接，

則，

為平行四邊形，，

是與所成的角，，

，，

又直角三角形中，

所以，

，

即異面直線與所成角的余弦值為；

(Ⅲ)

作，為垂足.
由(Ⅰ)知平面平面，
平面平面，
平面，連接，則
就是直線與平面所成角，

在中,，
，
即直線與平面所成角的正弦值為.