Question

已知二次函數f（x）=x²-2bx+a，滿足f（x）=f（2-x），且方程f（x）-

3a

4

=0有兩個相等的實根．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[t，t+1]（t∈R）時，求函數f（x）的最小值g（t）的表達式．

Answer 1

分析：（1）通過f（x）=f（2-x），求出函數的對稱軸方程，求出二次函數的對稱軸方程，即可求b，利用方程f（x）-

3a

4

=0有兩個相等的實根，判別式等于0，求出a，即可求解函數f（x）的解析式；
（2）求出函數的對稱軸方程，利用對稱軸在[t，t+1]內以及區間外，分別求出函數的最小值，即可求函數f（x）的最小值g（t）的表達式．

解答：解：（1）由f（x）=f（2-x），可知函數的對稱軸方程為x=1，
而二次函數f（x）=x²-2bx+a的對稱軸是x=b，
所以，對稱軸：x=b=1，
由方程f（x）-

3a

4

=0有兩個相等的實根可得：△=4-4×

a

4

=0，
解得a=4．
∴f（x）=x²-2x+4．   （5分）
（2）f（x）=x²-2x+4=（x-1）²+3．
①當t+1≤1，即t≤0時，y_min=f（t+1）=t²+3；    （6分）
②當t＜1＜t+1，即0＜t＜1時，y_min=f（1）=3；    （8分）
③當t≥1時，y_min=f（t）=t²-2t+4；    （10分）
綜上：g(t)=

t2+3，t≤0 3，0＜t＜1 t2-2t+4，t≥1

．　　    （12分）

點評：本題考查二次函數閉區間上的最值的求法，二次函數的解析式的求法，考查函數的基本知識的應用．