Question

如圖，某市擬在長為8 km的道路OP的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數y＝Asinωx(A＞0，ω＞0)，x∈[0，4]的圖象，且圖象的最高點為；賽道的后一部分為折線段MNP．為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120°．

(1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離；

(2)應如何設計，才能使折線段線段MNP最長？

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)依題意，有(1分)，又，．(2分) 　　，當時，(4分) 　　又(5分) 　　(Ⅱ)解法一在△MNP中∠MNP＝120°，MP＝5，設∠PMN＝，則0°＜＜60° 　　由正弦定理得， 　　(7分) 　　故(10分) 　　0°＜＜60°(11分) 　　當＝30°時，折線段賽道MNP最長，亦即，將∠PMN設計為30°時，折線段道MNP最長(12分) 　　解法二：在△MNP中，∠MNP＝120°，MP＝5， 　　由余弦定理得∠MNP＝即(7分) 　　故，從而，即(10分) 　　當且僅當時，折線段道MNP最長(12分)