Question

已知數(shù)列{a_n}與{b_n}有如下關(guān)系：a₁=2，a_n+1=（an+），b_n=．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，當(dāng)n≥2時，求證：S_n＜n+．

Answer 1

（1）解：∵b_n=．
∴b₁=，
∵a_n+1=（a_n+），
∴b_n+1==
∴
（2）證明：當(dāng)n≥2時，
（當(dāng)且僅當(dāng)n=2時取等號）且
故，，…，
以上式子累和得
∴10[S_n-a₁-a₂-（n-2）]≤S_n-1-a₁-（n-2）
∴
∴
∴S_n＜n+．得證
分析：（1）根據(jù)b_n=，a_n+1=（a_n+），可得b_n+1==，迭代可得數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）利用當(dāng)n≥2時，，可得，，…，，以上式子累和得，進而利用放縮法可證S_n＜n+．
點評：本題以數(shù)列遞推式為載體，考查數(shù)列的通項公式，考查不等式的證明，考查放縮法的運用，有難度．