Question

已知x=4是函數f（x）=alnx+x²-12x+11的一個極值點．
（1）求實數a的值；
（2）求函數f（x）的單調區間；
（3）若直線y=b與函數y=f（x）的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用x=4是函數f（x）=alnx+x²-12x+11的一個極值點，可得f′（4）=0，從而可求a的值；
（2）利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區間；
（3）確定函數的極值，從而可得不等式，即可求b的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=

a

x

+2x-12，
∵x=4是函數f（x）=alnx+x²-12x+11的一個極值點
∴f′（4）=

a

4

+8-12=0，∴a=16 …3分
（2）由（1）知，f（x）=16lnx+x²-12x+11，x∈（0，+∞）
f′（x）=

2(x-2)(x-4)

x

…5分
當x∈（0，2）∪（4，+∞）時，f′（x）＞0；當x∈（2，4）時，f′（x）＜0…7分
所以f（x）的單調增區間是（0，2），（4，+∞），f（x）的單凋減區間是（2，4）…8分
（3）由（2）知，f（x）的極大值為f（2）=16ln2-9，極小值為f（4）=32ln2-21
因此f（16）=16ln16+16²-12×16+11＞16ln2-9=f（2），f（e^-2）＜-32+11=-21＜f（4）
所以在f（x）的三個單調區間（0，2），（2，4），（4，+∞）內，直線y=b與y=f（x）的圖象各有一個交點，
當且僅當f（4）＜b＜f（2）成立…13分
因此，b的取值范圍為（32ln2-21，16ln2-9）． …14分．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查學生的計算能力，正確求導是關鍵．