Question

已知x=4是函數f（x）=alnx+x²-12x+b的一個極值點，（a，b∈R）．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）若函數y=f（x）有3個不同的零點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數的導數f′（x），由f'（4）=0求得a的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，由f′（x）=0，求得極值點的橫坐標，再根據導數的符號
求出函數f（x）的單調區間．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知f（x）的極大值為f（2），極小值為f（4），故當且僅當f（4）＜0＜f（2），y=f（x）
有三個零點，由此求得b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

a

x

+2x-12，（x＞0），…2’
由已知f'（4）=0得，

a

4

+8-12=0，解得a=16．…4’
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=16lnx+x²-12x+b，x∈（0，+∞），
令 f′(x)=

2(x2-6x+8)

x

=

2(x-2)(x-4)

x

=0，解得 x=2或 x=4．
當x∈（0，2）時，f′（x）＞0；當x∈（2，4）時，f′（x）＜0；x∈（4，+∞）時，f′（x）＞0．
所以f（x）的單調增區間是（0，2），（4，+∞）；f（x）的單調減區間是（2，4）．…8’
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，f（x）在（0，2）內單調遞增，在（2，4）內單調遞減，在（4，+∞）上單調遞增，
且當x=2或x=4時，f′（x）=0．
所以f（x）的極大值為f（2）=16ln2-20+b，極小值為f（4）=32ln2-32+b．…10’
當且僅當f（4）＜0＜f（2），y=f（x）有三個零點．…12’
由 32ln2-32+b＜0＜16ln2-20+b，解得 20-16ln2＜b＜32-32ln2，
所以，b的取值范圍為（20-16ln2，32-32ln2）．…14’

點評：本題主要考查函數在某一點取得機制的條件，利用導數研究函數的單調性，方程的根的存在性及個數判斷，屬于中檔題．