Question

在平面直角坐標系xoy中，動點M到定點F（0，）的距離比它到x軸的距離大，設動點M的軌跡是曲線E．
（1）求曲線E的軌跡方程；
（2）設直線l：x-y+2=0與曲線E相交于A、B兩點，已知圓C經過原點O和A，B兩點，求圓C的方程，并判斷點M（0，4）關于直線l的對稱點M′是否在圓C上．

Answer 1

解：（1）由已知，動點M到定點F（0，）的距離比它到x軸的距離大，
∴動點M到定點F（0，）的距離等于它到定直線的距離，…（2分）
∴動點M的軌跡曲線E是頂點在原點，焦點為F（0，）的拋物線和點（0，-）…（4分）
∴曲線E的軌跡方程為x²=y和y=-（x=0）．…（6分）
（2）由，解得或 …（8分）
即A（-1，1），B（2，4）
設過原點與點A、B的圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
則，解得
∴圓C的方程為x²+y²-2x-4y=0，即（x-1）²+（y-2）²=5 …（10分）
由上可知，過點M（0，4）且與直線l垂直的直線MM′方程為：y=-x+4
解方程組，得，即線段MM′中點坐標為H（1，3）…（12分）
從而得點M（0，4）關于直線l的對稱點M′的坐標為M′（2，2）
把M′（2，2）代入，可得（x-1）²+（y-2）²≠5
∴點M′（2，2）不在圓C上．…（14分）
分析：（1）由動點M到定點F（0，）的距離比它到x軸的距離大，可得動點M到定點F（0，）的距離等于它到定直線的距離，從而可得曲線E的軌跡方程；
（2）由，求得A，B的坐標，假設過原點與點A、B的圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入可得圓C的方程，求出點M（0，4）關于直線l的對稱點M′的坐標，代入驗證，即可得到結論．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，考查運算求解能力，推理論證能力