Question

已知函數f（x）=2x-sinx，若對任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立，則實數x的取值范圍是________．

Answer 1

（-3，1）
分析：由題意可知f（x）=2x-sinx為奇函數，由f′（x）=2-cosx＞0可判斷其單調性，從而可求對任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立時實數x的取值范圍．
解答：解；∵f（-x）=-2x-sin（-x）=-（2x-sinx）=-f（x），
∴f（x）=2x-sinx為奇函數；
又f′（x）=2-cosx＞0，
∴f（x）=2x-sinx為R上的增函數．
∴對任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）+f（2x）＜0恒成立
?對任意的t∈[-3，1]，f（tx-3）＜f（-2x）恒成立
?tx-3＜-2x恒成立，t∈[-3，1]
?tx+2x-3＜0恒成立，t∈[-3，1]．
令g（t）=tx+2x-3，則，即，
解得：-3＜x＜1．
∴實數x的取值范圍是（-3，1）．
故答案為：（-3，1）．
點評：本題考查函數恒成立問題，考查函數的奇偶性與單調性，突出轉化思想與構造函數思想的綜合應用，屬于中檔題．