Question

已知函數f(x)=ax(a∈R)，g(x)=

b

x

+2lnx(b∈R)，G(X)=f(x)-g(x)，且G（1）=0，G（x）在x=1的切線斜率為0．
（1）求a，b
（2）設a_n=G′（

1

n

）+n-2，求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜

11

18

（3）若b_n=2af（b_n-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），且b₁=1，c_n=

1

bn

．求證：1≤

n

i=1

ci＜

411

280

．

Answer 1

分析：（1）先得函數G（x）=f（x）-g（x）=ax-

b

x

-2lnx(x＞0)，根據G（1）=0，G（x）在x=1的切線斜率為0，可得兩方程，從而可求a，b的值；
（2）先求導函數G′(x)=1+

1

x2

-

2

x

(x＞0)，根據a_n=G′（

1

n

）+n-2，可得an=n2-n-1，從而

1

an

=

1

n2-n-1

 n=1，2時，直接計算可證；n≥3時，利用放縮法進行證明即可；
（3）根據b_n=2af（b_n-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），可得b_n=2b_n-1+3cos（nπ）（n≥2），從而可得{bn-(-1)n}為首項為2，公比為2的等比數列，根據c_n=

1

bn

，可得cn=

1

(-1)n+2n

，再分n為奇數，偶數分類討論進行證明即可．

解答：（1）解：G（x）=f（x）-g（x）=ax-

b

x

-2lnx(x＞0)
∵G（1）=0，∴a-b=0
∵G′(x)=a+

b

x2

-

2

x

，G（x）在x=1的切線斜率為0．
∴G′（1）=0
∴a+b=2
∴a=1，b=1
（2）證明：G′(x)=1+

1

x2

-

2

x

(x＞0)
∵a_n=G′（

1

n

）+n-2，
∴an=n2-n-1
∴

1

an

=

1

n2-n-1

 n=1時，

1

a1

=-1＜

11

18

n=2時，

1

a1

+

1

a2

=-1+1=0＜

11

18

n≥3時，

1

an

=

1

n2-n-1

＜ 

1

n2-n-2

=

1

3

(

1

n-2

-

1

n+1

)
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＜-1+1+

1

3

(1-

1

4

+

1

2

- 

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n+1

)
=

1

3

(1+

1

2

+

1

3

-

1

n-1

-

1

n

-

1

n+1

)=

1

3

(

11

6

-

1

n-1

 -

1

n

-

1

n+1

)＜

11

18

（3）證明：∵b_n=2af（b_n-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），
∴b_n=2b_n-1+3cos（nπ）（n≥2），即：b_n=2b_n-1+3（-1）ⁿ（n≥2），
則bn-(-1)n=2[bn-1-(-1)n-1]   
又b1-(-1)1=2
∴{bn-(-1)n}為首項為2，公比為2的等比數列．
∴bn-(-1)n=2n
∴bn=(-1)n+2n
∵c_n=

1

bn

∴cn=

1

(-1)n+2n

∴

n

i=1

ci=

1

2-1

+

1

22+1

+…+

1

2n+(-1)n

≥1
又2ⁿ＞1
∴2ⁿ2ⁿ⁺¹-2ⁿ+2ⁿ⁺¹-1＞2ⁿ2ⁿ⁺¹
 即：（2ⁿ+1）（2ⁿ⁺¹-1）＞2ⁿ2ⁿ⁺¹
∴

1

2n+1

+

1

2n+1-1

＜

1

2n

+

1

2n+1

當n為奇數時，

n

i=1

ci=

1

2-1

+

1

22+1

+…+

1

2n-1+1

+

1

2n-1

=

1

2-1

+

1

22+1

+

1

23-1

+(

1

24+1

+

1

25-1

)+…+  (

1

2n-1+1

+

1

2n-1

)
≤

1

2-1

+

1

22+1

+

1

23-1

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n-1

+

1

2n

=

1

1

+

1

5

+

1

7

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n-1

+

1

2n

＜

1

1

+

1

5

+

1

7

+

1 24

1- 1 2

=

1

1

+

1

5

+

1

7

+

1

8

=

411

280

當n為偶數時，

n

i=1

ci=

1

2-1

+

1

22+1

+…+

1

2n-1-1

+

1

2n+1

=

1

2-1

+

1

22+1

+

1

23-1

+(

1

24+1

+

1

25-1

)+…+  (

1

2n-2+1

+

1

2n-1-1

)+

1

2n+1

≤

1

2-1

+

1

22+1

+

1

23-1

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n-1

+

1

2n+1

=

1

1

+

1

5

+

1

7

+

1

24

+

1

25

+…+

1

2n-1

+

1

2n

＜

1

1

+

1

5

+

1

7

+

1 24

1- 1 2

=

1

1

+

1

5

+

1

7

+

1

8

=

411

280

綜上所述：1≤

n

i=1

ci＜

411

280

點評：本題以函數為載體，考查數列與不等式的綜合，考查導數的幾何意義，考查放縮法的運用，難度較大，尤其（3）問需要較強的思維能力．