Question

已知向量

a

=(sinθ，1)，

b

=（-1，cosθ），

a

•

b

=-

2

，0＜θ＜π．
（Ⅰ）求θ；
（Ⅱ）求sin(

θ

2

+

π

4

)的值．

Answer 1

分析：（1）根據向量

a

=(sinθ，1)，

b

=（-1，cosθ），

a

•

b

=-

2

，我們易得到一個關于θ的三角方程，解方程可得sin(θ-

π

4

)=1，再根據0＜θ＜π．易求出θ的大小；
（2）由（1）中結論，我們求出sin

θ

2

、cos

θ

2

的值，代入兩角和的正弦函數公式，即可得到sin(

θ

2

+

π

4

)的值．

解答：解：（Ⅰ）因為

a

=(sinθ，1)，

b

=（-1，cosθ），
∴

a

•

b

=-sinθ+cosθ=-

2

sin(θ-

π

4

)=-

2

得sin(θ-

π

4

)=1
∵0＜θ＜π
∴-

π

4

＜θ-

π

4

＜

3π

4

∴θ-

π

4

=

π

2

，
即θ=

3π

4

．
（Ⅱ）∵sin(

θ

2

+

π

4

)=sin

θ

2

cos

π

4

+cos

θ

2

sin

π

4

=

2

2

(sin

θ

2

+cos

θ

2

)(sin

θ

2

+cos

θ

2

)2=sin2

θ

2

+cos2

θ

2

+2sin

θ

2

cos

θ

2

=1+sinθ
由（Ⅰ）知：

θ

2

=

3π

8

∈[0 ， 

π

2

 ]，
∴sin

θ

2

＞0 ， cos

θ

2

＞0，
∴sin

θ

2

+cos

θ

2

=

1+sinθ

=

1+sin 3π 4

=

1+ 2 2

∴sin(

θ

2

+

π

4

)=

2

2

(sin

θ

2

+cos

θ

2

)=

2

2

×

1+ 2 2

=

2+ 2

2

．

點評：要求一個角的大小，我們需要兩個條件：一是該角的一個三角函數值，二是該角的取值范圍．