Question

【題目】已知點O為△ABC的外心，角A，B，C的對邊分別滿足a，b，c， （Ⅰ）若3 +4 +5 = ，求cos∠BOC的值；
（Ⅱ）若 = ，求 的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 設外接圓半徑為R，由3 +4 +5 = 得：4 +5 =﹣3 ，平方得：16R2+40 +25R2=9R2 ， 即 =﹣ R2 ，
則cos∠BOC=﹣ ；
（Ⅱ）∵ = ，
∴ = ，
即： = ，
可得：﹣R2cos2A+R2cos2B=﹣R2cos2C+R2cos2A，
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即：2（1﹣2sin2A）=2﹣（2sin2B+2sin2C），
∴2sin2A=sin2B+sin2C，
∴利用正弦定理變形得：2a2=b2+c2 ，
∴ =2
【解析】（Ⅰ）設三角形ABC的外接圓半徑為R，將已知的等式變形后，左右兩邊平方，由O為三角形的外心，得到| |=| |=| |=R，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算，可得出cos∠BOC的值；（Ⅱ）將已知的等式左右兩邊利用平面向量的減法法則計算，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則變形，整理后利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用正弦定理變形后，整理可得出所求式子的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解二倍角的余弦公式(二倍角的余弦公式：)．