Question

（2013•泉州模擬）已知F（0，1）是中心在坐標原點O的橢圓C的一個焦點，且橢圓C的離心率e為

1

2

．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設：M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）為橢圓C上不同的點，直線MN的斜率為k₁；A是滿足

OM

+

ON

=λ

OA

（λ≠0）的點，且直線OA的斜率為k₂．
①求k₁•k₂的值；
②若A的坐標為（

3

2

，1），求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）依題意，可設橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由c=1，e=

c

a

=

1

2

，a²=b²+c²，解出即可；
（II）解法一：①由M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）且k₁存在，利用斜率計算公式和

OM

+

ON

=λ

OA

，λ≠0且k₂存在，可得k2=

y2+y1

x2+x1

，進而得到k₁•k₂，把M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）橢圓方程，即可得到k₁•k₂的值；
②若A的坐標為(

3

2

，1)，則k2=

2

3

，利用①可得k₁=-2．設直線MN：y=-2x+m（m∈R），與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系x1+x2=

3m

4

．
由

OM

+

ON

=λ

OA

，代入可得x1+x2=

3

2

λ，m=2λ．再利用△＞0，即可得到λ的取值范圍．
解法二：①設直線MN：y=k₁x+m（m∈R），M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），得若m=0，則x₁+x₂=0，由A滿足

OM

+

ON

=λ

OA

（λ∈R，λ≠0），得x_A=0，
由直線OA的斜率k₂存在，∴m≠0．與橢圓的方程聯立可得，得到根與系數的關系，再利用滿足

OM

+

ON

=λ

OA

，及斜率的計算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）依題意，可設橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
由c=1，e=

c

a

=

1

2

，得a=2，
由b²=a²-c²，可得b²=3，
故橢圓C的方程為

y2

4

+

x2

3

=1．
（Ⅱ）解法一：①由M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）且k₁存在，得k1=

y2-y1

x2-x1

，
由

OM

+

ON

=λ

OA

，λ≠0且k₂存在，得k2=

y2+y1

x2+x1

，
則k1•k2=

y2+y1

x2+x1

•

y2-y1

x2-x1

=

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

．
∵M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）在橢圓上，∴

y 2 1

4

+

x 2 1

3

=1，

y 2 2

4

+

x 2 2

3

=1，
兩式相減得

y 2 2 - y 2 1

4

+

x 2 2 - x 2 1

3

=0，

y 2 2 - y 2 1

x 2 2 - x 2 1

=-

4

3

，
∴k1•k2=-

4

3

．
②若A的坐標為(

3

2

，1)，則k2=

2

3

，由①可得k₁=-2．
設直線MN：y=-2x+m（m∈R），
由

y=-2x+m y2 4 + x2 3 =1

得16x²-12mx+3m²-12=0，
所以x1+x2=

3m

4

．
∵

OM

+

ON

=λ

OA

，∴x1+x2=

3

2

λ，m=2λ．
又由△=（-12m）²-4•16•（3m²-12）＞0，解得-4＜m＜4，
∴-2＜λ＜2且λ≠0．
解法二：①設直線MN：y=k₁x+m（m∈R），
若m=0，則x₁+x₂=0，
由A滿足

OM

+

ON

=λ

OA

（λ∈R，λ≠0），得x_A=0，
∵直線OA的斜率k₂存在，∴m≠0．
由

y=k1x+m y2 4 + x2 3 =1

得(4+3

k

2 1

)x2+6k1mx+3m2-12=0…（*）．
∵M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），∴x1+x2=-

6k1m

4+3 k 2 1

．
∵y₁+y₂=k₁（x₁+x₂）+2m，A滿足

OM

+

ON

=λ

OA

，
∴直線OA的斜率k2=

y1+y2

x1+x2

=k1+

2m

x1+x2

=k1-

4+3 k 2 1

3k1

，
經化簡得k1•k2=-

4

3

．
②若A的坐標為(

3

2

，1)，則k2=

2

3

，由①可得k₁=-2．
∴方程（*）可化為16x²-12mx+3m²-12=0，
下同解法一．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、向量的運算等基礎知識，考查分類討論思想方法、推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想、數形結合思想等．