Question

已知銳角三角形ABC的三個內角為A，B，C，其對應邊分別為a，b，c，b=2

3

，向量

m

=（cosB，cosC），

n

=（c-a，b），且

m

•

n

=acosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求a+c的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由平面向量的基本定理及正弦定理的推論（邊角互化），可將

m

•

n

=acosB，轉化為sinCcosB-sinAcosB+sinBcosC=sinAcosB，利用誘導公式及兩角和的正弦公式，可得cosB=

1

2

，進而結合B為三角形內角得到角B的大小；
（Ⅱ）利用余弦定理及基本不等式，可得a+c≤4

3

，又由三角形兩邊之和大于第三邊可得a+c＞2

3

，綜合可得a+c的取值范圍．

解答：解：（I）∵

m

=（ cosB，cosC），

n

=（c-a，b），
∴

m

•

n

=（c-a）cosB+bcosC=acosB．
即sinCcosB-sinAcosB+sinBcosC=sinAcosB
即sin（B+C）=2sinAcosB
即sinA=2sinAcosB
即cosB=

1

2

即B=

π

3

（II）由b=2

3

，結合余弦定理可得
b²=a²+c²-2accosB
即12=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-3（

a+c

2

）²=

1

4

（a+c）²，
故（a+c）²≤48
故a+c≤4

3

又由三角形兩邊之和大于第三邊可得a+c＞2

3

故a+c的取值范圍為（2

3

，4

3

]

點評：本題考查的知識點是平面向量的數量積運算，正弦定理，兩角和的正弦公式，給值求角，余弦定理，基本不等式，是向量，三角函數，不等式的綜合應用，難度較大．