Question

已知銳角三角形ABC中，定義向量

m

=（sinB，-

3

），

n

=（cos2B，4cos²

B

2

-2），且

m

∥

n

（1）求函數f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB的單調減區間；
（2）若b=1，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量共線的坐標等價條件，以及三角形是銳角三角形求出角B的值，由兩角差的正弦公式對函數解析式進行整理，再由正弦函數的單調性求出原函數的單調區間；
（2）由（1）和余弦定理列出關于a和c式子，再由a+c≥2

ac

將方程轉化為不等式，求出ac的最大值，再代入三角形的面積公式求出面積的最大值．

解答：解：（1）由題意知，

m

=（sinB，-

3

），

n

=（cos2B，4cos²

B

2

-2），

m

∥

n

，
∴sinB（4cos²

B

2

-2）-（-

3

）cos2B=0，2sin（2B+

π

3

）=0
由于是銳角三角形，故B=

π

3

，
∴f（x）=sin2xcosB-cos2xsinB=sin（2x-B）=sin（2x-

π

3

），
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈z）解得，

π

12

+kπ≤x≤

π

2

+kπ（k∈z），
∴函數的單調減區間是[

π

12

+kπ，

π

2

+kπ]（k∈z）；
（2）由（1）知，B=

π

3

，
根據余弦定理得，b²=a²+c²-2accosB，即1=（a+c）²-2ac-ac，
∴（a+c）²=1+3ac，當且僅當a=c時等號成立；
∵（a+c）²≥4ac，∴1+3ac≥4ac，
∴ac≤1，當且僅當a=c時等號成立，
∴△ABC的面積S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≤

3

4

，
∴△ABC的面積的最大值為

3

4

．

點評：本題是有關向量和三角函數的綜合題，涉及了向量共線的坐標等價條件，兩角差的正弦公式，正弦函數的單調性，余弦定理以及基本不等式等，考查知識全面、綜合，考查了分析問題、解決問題的能力和轉化思想．