Question

對任意x∈R，給定區間[k-，k+]（k∈Z），設函數f（x）表示實數x與x的給定區間內整數之差的絕對值．
（1）寫出f（x）的解析式；
（2）設函數g（x）=log_a，（＜a＜1），試證明：當x＞1時，f（x）＞g（x）；當0＜x＜1時，f（x）＜g（x）；
（3）求方程f（x）-log_a=0的實根，（＜a＜1）．

Answer 1

解：（1）當x∈[k-，k+]（k∈Z）時，由定義知：k為與x最近的一個整數，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-，k+]（k∈Z）．
（2）①當x＞1時，|x-k|≥0＞log_ax，所以f（x）＞g（x）；
②當＜x＜1時，設H（x）=g（x）-f（x）=log_ax-（1-x），（＜x＜1）．
則H′（x）=•log_ae+1=+1＜+1=-+1＜0，
所以當＜x＜1時，H（x）為減函數，H（x）＞H（1）=0，故f（x）＜g（x）；
③當0＜x≤時，設G（x）=g（x）-f（x）=log_ax-x，
明顯G（x）為減函數，G（x）≥G（）=H（）＞0，故f（x）＜g（x）．
另證：g（x）=log_ax＞log_a=log_a＞log_a＞log_aa==f（）＞f（x）．
（3）由（2），容易驗證x=1為方程|x-k|-log_ax=0的實根，所以，若＜a＜1，方程f（x）-log_a=0有且僅有一個實根，實根為1．
分析：（1）根據條件函數f（x）表示實數x與x的給定區間內整數之差的絕對值，可知k為與x最近的一個整數，因此可以求得f（x）的解析式；
（2）要證當x＞1時，f（x）＞g（x）求出f（x），易證成立；當0＜x＜1時，分情況討論，f（x）＜g（x）求出f（x），利用導數求函數H（x）=g（x）-f（x）=log_ax-（1-x），（＜x＜1）．的最小值即可證明結論；
（3）根據（2）易求1就是方程的實根．
點評：此題是個中檔題．考查分段函數的應用．解決分段函數的問題，一定分段求解，體現了分類討論的數學思想和方法，同時考查了學生的閱讀能力和分析解決問題的能力和計算能力．