Question

對(duì)任意x∈R，給定區(qū)間[k-，k+]（k∈z），設(shè)函數(shù)f（x）表示實(shí)數(shù)x與x的給定區(qū)間內(nèi)
整數(shù)之差的絕對(duì)值．
（1）當(dāng)時(shí)，求出f（x）的解析式；當(dāng)x∈[k-，k+]（k∈z）時(shí)，寫(xiě)出用絕對(duì)值符號(hào)表示的f（x）的解析式；
（2）求的值，判斷函數(shù)f（x）（x∈R）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)時(shí)，求方程的實(shí)根．（要求說(shuō)明理由）

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)x∈[-]時(shí)，根據(jù)定義，寫(xiě)出f（x）的解析式；當(dāng)x∈[k-，k+]（k∈z）時(shí)，由定義知：k為與x最近的一個(gè)整數(shù)，寫(xiě)出解析式即可；（2）根據(jù)（1）求得
即可，利用奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）（x∈R）的奇偶性，（3）要求方程的根，即求|x-k|-log_ax=0的根，分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可求得方程根的個(gè)數(shù)．
解答：解：（1）當(dāng)x∈[-]時(shí)，
由定義知：x與0距離最近，f（x）=|x|，x∈[-]
當(dāng)x∈[k-，k+]（k∈z）時(shí)，
由定義知：k為與x最近的一個(gè)整數(shù)，故
f（x）=|x-k|，x∈[k-，k+]（k∈z）；
（2）=，
判斷f（x）是偶函數(shù)．
對(duì)任何x∈R，函數(shù)f（x）都存在，且存在k∈Z，滿足
k-≤x≤k+，f（x）=|x-k|，
由k-≤x≤k+，可以得出-k-≤-x≤-k+，
即-x∈[-k-，-k+]，
由（Ⅰ）的結(jié)論，f（-x）=|-x-（-k）|=|k-x|=|x-k|=f（x），
即f（x）是偶函數(shù)．
（3）解：，即|x-k|-log_ax=0，
①當(dāng)x＞1時(shí)，|x-k|≥0＞log_ax，
∴|x-k|-log_ax=0沒(méi)有大于1的實(shí)根；
②容易驗(yàn)證x=1為方程|x-k|-log_ax=0的實(shí)根；
③當(dāng)時(shí)，方程|x-k|-log_ax=0變?yōu)?-x-log_ax=0
設(shè)H（x）=log_ax-（1-x）（）
則H′（x）=，
所以當(dāng)時(shí)，H（x）為減函數(shù)，H（x）＞H（1）=0，
所以方程沒(méi)有的實(shí)根；
④當(dāng)時(shí)，方程|x-k|-log_ax=0變?yōu)閤-log_ax=0
設(shè)G（x）=log_ax-x（），顯然G（x）為減函數(shù)，
∴G（x）≥G（）=H（）＞0，
所以方程沒(méi)有的實(shí)根．
綜上可知，當(dāng)時(shí)，方程有且僅有一個(gè)實(shí)根，實(shí)根為1．
點(diǎn)評(píng)：此題是中檔題．考查新定義求函數(shù)的解析式，以及利用函數(shù)奇偶性的定義判斷函數(shù)的奇偶性，分類(lèi)討論求方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想，同時(shí)考查了利用應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力．