Question

（1）若|a|＜1，|b|＜1，比較|a+b|+|a-b|與2的大小，并說明理由；
（2）設m是|a|，|b|和1中最大的一個，當|x|＞m時，求證：|

a

x

+

b

x2

|＜2.

Answer 1

分析：（1）由題設條件知，利用不等式的性質不易找到證明的方法，故根據其不為負的情況對其進行平方，讓其與4來進行比較．
（2）對不等式的左邊用不等式的性質放大，再由m是|a|，|b|和1中最大的一個，|x|＞m再一次放大，證出放大的表達式的值小于2，由不等號的傳遞性知可得結論．

解答：解：（1）|a|＜1，|b|＜1，有|a+b|+|a-b|＜2，證明如下
∵（|a+b|+|a-b|）²=2（a²+b²）+2|a²-b²||a|＜1，|b|＜1，
當|a|≤|b|時，即a²≤b²，有∵（|a+b|+|a-b|）²=4b²＜4，即|a+b|+|a-b|＜2
當|a|≥|b|時，即a²≥b²，有∵（|a+b|+|a-b|）²=4a²＜4，即|a+b|+|a-b|＜2
綜上知|a|＜1，|b|＜1，|a+b|+|a-b|≤2
（2）因為|x|＞m≥|b|且|x|＞m≥1，所以|x²|＞|b|．
又因為|x|＞m≥|a|，所以|

a

x

+

b

x2

|≤|

a

x

|+|

b

x2

|＜

|a|

|x|

+

|b|

|x|2

＜

|x|

|x|

+

|x|2

|x|2

=2，
故原不等式成立．

點評：本題考查不等式的證明，證明不等式的方法很多，主要有作差法，放縮法．本題在證明過程中用到了放縮法，在每一小題的證明中由a，b大小的不確定又用到了分類討論．