Question

如圖，設點P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁（不含各棱）的表面上，如果點P到棱
CC₁與A₁B₁的距離相等，則稱點P為“Γ點”給出下列四個結論：
①在四邊形BCC₁B₁內存在有限個“Γ點”；
②在四邊形BCC₁B₁內存在無窮多個“Γ點”；
③在四邊形A₁B₁C₁D₁內存在無窮多個“Γ點”；
④在四邊形CDD₁C₁內不存在“Γ點”
其中，所有正確的結論序號是

②③④

．

Answer 1

分析：因為點P到棱CC₁與A₁B₁的距離相等，所以利用異面直線的公垂線的中點和動點到定點和定直線的距離相等的定義確定是否存在“Γ點”．

解答：解：因為CC₁與A₁B₁是異面直線，所以由正方體可知，B₁C₁是異面直線CC₁與A₁B₁的公垂線．
因為A₁B₁⊥面BCC₁B₁，所以平面BCC₁B₁內點到直線CC₁的距離和到B₁的距離相等，
因為點B₁是定點，CC₁是定直線，根據拋物線的定義可知，在四邊形BCC₁B₁點P的軌跡是以B₁為焦點，以CC₁為準線的拋物線在BCC₁B₁內的部分，
所以在四邊形BCC₁B₁內存在無窮多個“Γ點”，所以①錯誤，②正確．
因為CC₁⊥面A₁B₁C₁D₁內，所以平面A₁B₁C₁D₁內點到直線A₁B₁的距離和到C₁的距離相等，
因為點C₁是定點，A₁B₁是定直線，根據拋物線的定義可知，在四邊形ABCD點P的軌跡是以C₁為焦點，以A₁B₁為準線的拋物線在A₁B₁C₁D₁內的部分，
所以在四邊形A₁B₁C₁D₁內存在無窮多個“Γ點”，所以③正確．
設正方體的棱長為1，在四邊形CDD₁C₁內點P到AB的最短距離為1，而在四邊形CDD₁C₁內點P到CC₁的最大距離是1，而此時點P位于D處，
因為P不在棱上，所以在四邊形CDD₁C₁內不存在“Γ點”，所以④正確．．
故答案為：②③④．

點評：本題主要考查了空間點到直線距離的判斷，考查學生分析問題的能力，綜合性較強，難度較大．