Question

如圖，設點P在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁（不含各棱）的表面上，如果點P到棱CC₁與AB的距離相等，則稱點P為“Γ點”給出下列四個結論：
①在四邊形ABCD內不存在“Γ點”；
②在四邊形ABCD內存在無窮多個“Γ點”；
③在四邊形ABCD內存在有限個“Γ點”；
④在四邊形CDD₁C₁內存在無窮多個“Γ點”
其中，所有正確的結論序號是

②

．

Answer 1

分析：因為點P到棱CC₁與AB的距離相等，所以利用異面直線的公垂線的中點和動點到定點和定直線的距離相等的定義確定是否存在“Γ點”．

解答：解：因為CC₁與AB是異面直線，所以由正方體可知，BC是異面直線CC₁與AB的公垂線．因為CC₁⊥面ABCD，所以平面ABCD內點到直線CC₁的距離和到C的距離相等，因為點C是定點，AB是定直線，根據拋物線的定義可知，在四邊形ABCD點P的軌跡是以C為焦點，以AB為準線的拋物線在ABCD內的部分，所以在四邊形ABCD內存在無窮多個“Γ點”，所以②正確，所以①③錯誤．
設正方體的棱長為1，在四邊形CDD₁C₁內點P到AB的最短距離為1，而在四邊形CDD₁C₁內點P到CC₁的最大距離是1，而此時點P位于D處，
因為P不在棱上，所以在四邊形CDD₁C₁內不存在“Γ點”，所以④錯誤．
故答案為：②．

點評：本題主要考查了空間點到直線距離的判斷，考查學生分析問題的能力，綜合性較強，難度較大．