Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n=1，2，3…）．數列{b_n}滿足b_n=

1

anan+1

，T_n為數列b_n的前n項和．
（1）求a_n和T_n；
（2）若對于任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+8（-1）ⁿ恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：計算題,等差數列與等比數列,不等式的解法及應用

分析：（1）當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），易證a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*），于是可得：{a_n}是等差數列，再由等差數列的通項公式，即可得到通項，再由裂項相消求和，求得T_n；
（2）分別討論n為奇數和偶數，運用分離參數，討論右邊的最小值，注意運用單調性和基本不等式，即可得到范圍．

解答： 解：（1）當n≥2，n∈N^*時，由已知S_n=na_n-n（n-1）
得S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）．
兩式相減得S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1）．
又S_n-S_n-1=a_n，所以（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=2（n-1）．
即a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*）．
所以{a_n}是以1為首項、2為公差的等差數列，
即a_n=1+2（n-1）=2n-1，
b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）．
則T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]
=

1

2

（1-

1

2n+1

）．
則T_n=

n

2n+1

；
（2）由于對任意的n∈N⁺，不等式λT_n＜n+8（-1）ⁿ恒成立，
則當n為奇數時，有λT_n＜n-8恒成立，
即有λ＜

(n-8)(2n+1)

n

=2n-

8

n

-15，
由于2n-

8

n

-15在n≥1上遞增，則n=1取得最小值，且為-21，
則λ＜-21；
當n為偶數時，有λT_n＜n+8恒成立，
即有λ＜

(n+8)(2n+1)

n

=2n+

8

n

+17，
由于2n+

8

n

+17≥2

2n• 8 n

+17=25，當且僅當n=2，取得最小值，且為25．
則λ＜25．
由于對任意的n∈N⁺，不等式恒成立，則λ＜-21．
則實數λ的取值范圍是（-∞，-21）．

點評：本題考查數列的通項和求和，著重考查運算、推理的能力，突出考查等差關系的確定與裂項法求和的綜合應用，屬于中檔題．