Question

已知公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a（a∈R），設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁、a₂、a₄恰為等比數(shù)列{b_n}的前三項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n；
（2）當(dāng)n≥2時(shí)，比較An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

與Bn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

的大小．（可使用結(jié)論：n≥2時(shí)，2ⁿ＞n+1）

Answer 1

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a22=a1a4，得(a1+d)2=a1(a1+3d)，由此能夠求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n．
（2）由

1

Sn

=

2

a

(

1

n

-

1

n+1

)，知An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

a

(1-

1

n+1

)．由{b_n}中，b₁=a，b₂=2a，知{b_n}是首項(xiàng)為a，公比為2的等比數(shù)列，由此能導(dǎo)出當(dāng)a＞0時(shí)，A_n＜B_n；當(dāng)a＜0時(shí)，A_n＞B_n．

解答：解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由a22=a1a4，…（1分）
得(a1+d)2=a1(a1+3d)…（2分）
∵d≠0，∴d=a，
∴a_n=na₁，Sn=

an(n+1)

2

．
（2）∵

1

Sn

=

2

a

(

1

n

-

1

n+1

)，
∴An=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

2

a

(1-

1

n+1

)．
∵{b_n}中，b₁=a，b₂=2a，
∴{b_n}是首項(xiàng)為a，公比為2的等比數(shù)列，
∴bn=a×2n-1，
∴Bn=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

2

a

(1-

1

2 n

)，
∵當(dāng)n≥2時(shí)，2ⁿ＞n+1，
即1-

1

n+1

＜1-

1

2 n

，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，A_n＜B_n；當(dāng)a＜0時(shí)，A_n＞B_n．

點(diǎn)評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項(xiàng)，結(jié)合含兩個(gè)變量的不等式的處理問題，對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．