Question

（本小題滿分13分）

已知函數是定義在上的奇函數,當時,

(其中e是自然對數的底, )     

   （1）求的解析式;

   （2）設，求證：當時，；

  （3）是否存在實數a，使得當時，的最小值是3 ？如果存在，求出實數a的值；如果不存在，請說明理由。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

1）    …………………4分

   （2）證明：當且時，，

設

因為，所以當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增，所以

又因為，所以當時，，此時單調遞減，所以      

所以當時，即 …………

  （3） 存在實數，使得當時，有最小值３…

 

【解析】解：.5.u設，則，所以

又因為是定義在上的奇函數，所以 

故函數的解析式為    …………………4分

   （2）證明：當且時，，

設

因為，所以當時，，此時單調遞減；當時，，此時單調遞增，所以

又因為，所以當時，，此時單調遞減，所以      

所以當時，即 ……………………8分

   （3）解：假設存在實數，使得當時，有最小值是3，則

（ⅰ）當，時，．在區間上單調遞增，，不滿足最小值是３

（ⅱ）當，時，，在區間上單調遞增，，也不滿足最小值是３

（ⅲ）當，由于，則，故函數 是上的增函數．

所以，解得（舍去）         

（ⅳ）當時，則

當時，，此時函數是減函數；

當時，，此時函數是增函數．

所以，解得    

綜上可知，存在實數，使得當時，有最小值３…………13分