Question

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，點M到兩點，的距離之和為，設點的軌跡為曲線．

（Ⅰ）寫出曲線的方程；

（Ⅱ）設過點的斜率為（）的直線與曲線交于不同的兩點,，點在軸上，且，求點縱坐標的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ） . （II）.

【解析】

（Ⅰ）曲線的方程根據定義易得，，c=1, 所以的方程為;

,轉化為P在直線的垂直平分線上，又點在軸上，解得，，求得范圍。   

解：（Ⅰ）由題設知,

根據橢圓的定義，的軌跡是焦點為，，長軸長為的橢圓，

設其方程為

則， ，，所以的方程為.            ………5分

（II）依題設直線的方程為.將代入并整理得，

 . .              ………6分

設，，

則，                            ..………7分

設的中點為，則，，即.                                           ………8分

因為，

所以直線的垂直平分線的方程為， ……9分

令解得，，                        .………10分

當時，因為，所以；           .………12分

當時，因為，所以.          .………13分

綜上得點縱坐標的取值范圍是.             .………14分