Question

已知橢圓C的中心為坐標原點，焦點在y軸上，離心率e=該橢圓C與直線l：y=x在第一象限交于F點，且直線l被橢圓C截得的弦長為2，過F作傾斜角互補的兩直線FM，F(xiàn)N分別與橢圓C交于M，N兩點（F與M，N均不重合）．
（I ）求橢圓C的方程；
（ II ）求證：直線MN的斜率為定值；
（III）求三角形FMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I ）由題設知：e=，，由此能求出橢圓C的方程．
（II）由F（1，），設k_FM=k（k＞0），由直線FM與FN的傾斜角互補，知k_FN=-k，直線FM：，直線FN：．由，得，由是FM與橢圓的交點，知1為（*）的一個根，另一個根為x_M，，=，，同理，由此能求出直線MN的斜率為定值．
（III）設MN與y軸交點為（0，b），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），又，MN的方程為．由，得．由，得b²＜8，再由韋達定理和兩點間距離公式進行求解．
解答：解：（I ）由題設知：e=，∴，
∵c²=a²-b²，∴，
即a²=2b²，
設所求的橢圓C的方程為．
由，得，∴，∴y=±b．
∴兩交點分別為（），，
∴，
∴b²=2，a²=4．
∴所求的橢圓C的方程為．
（II）由（1）知F（1，），
設k_FM=k（k＞0），
∵直線FM與FN的傾斜角互補，
∴k_FN=-k，
∴直線FM：，直線FN：．
由，得（*），
∵是FM與橢圓的交點，
∴1為（*）的一個根，另一個根為x_M，
∴，
∴
=，
∴，
同理，
∴．
（III）設MN與y軸交點為（0，b），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又，
∴MN的方程為．
由，得．
由，得b²＜8，
∵，，
∴
=
=．
∵，
∴OF∥MN，
∴F到MN的距離即為O到MN的距離b=，
∴
=，
當b²=4時，三角形FMN面積的最大值為．
點評：本題考查橢圓方程的求法，直線斜率的計算和三角形面積的最大值的求法．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．