Question

【題目】已知橢圓C：的左焦點為F（﹣1，0），離心率為，過點F的直線l與橢圓C交于A、B兩點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）設過點F不與坐標軸垂直的直線交橢圓C于A、B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】1；（Ⅱ）（，0）

【解析】

（Ⅰ）由題意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e，由此求出橢圓的方程．（II）設直線AB的方程為y＝k（x+1）（k≠0），聯立方程，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0．由直線AB過橢圓的左焦點F，記A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點N（x0，y0），x1+x2，x0，垂直平分線NG的方程為y﹣y0，由此能求出點G橫坐標的取值范圍．

（Ⅰ）由題意可知：c＝1，a2＝b2﹣c2，e

解得：a，b＝1

故橢圓的方程為：1

（II）設直線AB的方程為y＝k（x+1）（k≠0），

與橢圓聯立，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0

∵直線AB過橢圓的左焦點F∴方程有兩個不等實根．

記A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中點N（x0，y0）

則x1+x2

x0

垂直平分線NG的方程為y﹣y0，

令y＝0，得xG＝x0+ky0

．

∵k≠0，∴0

∴點G橫坐標的取值范圍為（，0）．