Question

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinA=sin（A-B）+sinC．
（1）求角B的大小；
（2）若b²=ac，判斷△ABC的形狀；
（3）求證：

b•sin(C- π 6 )

(2c-a)•cosB

為定值．

Answer 1

分析：（1）由三角形的內角和定理及誘導公式得到sinC=sin（A+B），代入已知的等式中，并利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后，根據sinA不為0，再等號兩邊同時除以sinA，得到cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數；
（2）由余弦定理得到b²=a²+c²-2accosB，把cosB，以及b²=ac代入，整理后得到a=c，進而得到三角形為等腰三角形，又B為

π

3

，故三角形為等邊三角形；
（3）利用正弦定理化簡所求的式子，并將其中的角C化為π-（A+B），并將B的度數代入，分子整理后利用誘導公式及特殊角的三角函數值化簡，分母利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后可得出其中為1，故所求式子為定值，得證．

解答：解：（1）∵sinA=sin（A-B）+sinC，且sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴sinA=sinAcosB-cosAsinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，
又sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，又B為三角形的內角，
則B=

π

3

；
（2）∵b²=ac，cosB=

1

2

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：ac=a²+c²-ac，
即（a-c）²=0，
∴a=c，又B=

π

3

，
則△ABC為等邊三角形；
（3）∵C=π-（A+B），B=

π

3

，
∴sin（C-

π

6

）=sin[π-（A+

π

3

）-

π

6

]=sin（

π

2

-A）=cosA，sinC=sin（A+B），
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化簡得：

b•sin(C- π 6 )

(2c-a)•cosB

=

sinB•sin(C- π 6 )

(2sinC-sinA)•cosB

=

3 2 cosA

sin(A+ π 3 )-  1 2 sinA

=

3 2 cosA

1 2 sinA+ 3 2 cosA- 1 2 sinA

=1，
則

b•sin(C- π 6 )

(2c-a)•cosB

為定值．

點評：此題考查了三角形形狀的判斷，以及三角函數的恒等變換，涉及的知識有：正弦、余弦定理，誘導公式，兩角和與差的正弦函數公式，等邊三角形的判定，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．