Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c，滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，若在區間[-1，1]上，不等式f（x）-2x-m＞0恒成立，則實數m的取值范圍為

（-∞，-1）

．

Answer 1

分析：二次函數f（x）=ax²+bx+c代入f（x+1）-f（x）=2x，根據系數對應相等可求a，b，而f（0）=1，進而可求f（x），然后將m分離得x²-3x+1＞m 對x∈[-1，1]恒成立，令g（x）=x²-3x+1，根據g（x）在[-1，1]上的單調性可求g（x）_min，可求m的范圍．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+c，
∴f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=2x，
∴

2a=2 a+b=0

，解得

a=1 b=-1

，即f（x）=x²-x+c，
又∵f（0）=1，
∴c=1，則f（x）=x²-x+1，
∵在區間[-1，1]上，不等式f（x）-2x-m＞0恒成立，
∴x²-x+1-2x-m＞0在區間[-1，1]上恒成立，
 即x²-3x+1＞m 對x∈[-1，1]恒成立，
令g（x）=x²-3x+1，又g（x）在[-1，1]上遞減，
故g（x）_min=g（1）=-1
∴m＜-1即實數m的取值范圍為（-∞，-1）．
故答案為：（-∞，-1）．

點評：本題主要考查了利用待定系數法求解二次函數的解析式，以及函數的恒成立與函數的最值求解的相互轉化，主要涉及單調性在函數的最值求解中的應用．屬于中檔題．