Question

已知f(x)=

a-x2-2x f(x-1)

(x＜0) (x≥0)

且函數(shù)y=f（x）-x恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

A．（0，+∞）

B．[-1，0）

C．[-1，+∞）

D．[-2，+∞）

Answer 1

分析：先根據(jù)當x≥0時，f（x）=f（x-1），可得當x≥0時，f（x）在[-1，0）重復的周期函數(shù)，再根據(jù)x∈[-1，0）時，y=a-x²-2x=1+a-（x+1）²，對稱軸x=-1，頂點（-1，1+a），進而可進行分類：（1）如果a＜-1，函數(shù)y=f（x）-x至多有2個不同的零點；（2）如果a=-1，則y有一個零點在區(qū)間（-1，0），有一個零點在（-∞，-1），一個零點是原點；（3）如果a＞-1，則有一個零點在（-∞，-1），y右邊有兩個零點，故可求實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：因為當x≥0的時候，f（x）=f（x-1），所以所有大于等于0的x代入得到的f（x）相當于在[-1，0）重復的周期函數(shù)
x∈[-1，0）時，y=a-x²-2x=1+a-（x+1）²，對稱軸x=-1，頂點（-1，1+a）
（1）如果a＜-1，函數(shù)y=f（x）-x至多有2個不同的零點；
（2）如果a=-1，則y有一個零點在區(qū)間（-1，0），有一個零點在（-∞，-1），一個零點是原點；
（3）如果a＞-1，則有一個零點在（-∞，-1），y右邊有兩個零點，
故實數(shù)a的取值范圍是[-1，+∞）
故選C．

點評：本題重點考查函數(shù)的零點與方程根的關系，考查函數(shù)的周期性，有一定的難度．